众所周知，正多面体的基本特征是每个面都是全等的正多边形，每个边的长度相等，每个角的角度相等。这些形状包括正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。早在古希腊的柏拉图时代，人们就知道这五个正多面体。
书中《蒂迈欧篇》(网)。例如，骰子立方体的网是由六个正方形组成的丁字。
大卫奥利奇诺(David Aulicino)和贾亚德夫阿特雷亚(Jayadev Athreya)于2018年构建的纸十二面体表明，一条直线路径从一个顶点返回原点而避开其他顶点实际上是可能的。
想象一下，规则的十二面体被放平，沿着这个平面形状向选定的方向移动，最后它会碰到网的边缘。此时，路径将跳转到不同的五边形(在切割正十二面体之前，它被粘在当前的五边形上)。每当路径跳跃时，它将以36度的倍数旋转。
为了避免所有的跳跃和旋转，当遇到网的边缘时，你可以直接进入网，而不是连接到另一个新的旋转的网。现在，已经获得了两个不同的五边形，它们分别代表原始正十二面体的五边形。因此，即使现在情况变得复杂，道路也会变得更简单。此外，无论何时需要扩展边，都可以继续添加新的网。
当路径已经穿过10个这样的网时，原始网已经被旋转了36度的每一个可能的倍数，并且添加的下一个网具有与初始网相同的方向。这意味着第11个网络可以通过一个简单的转换(也就是数学家所说的翻译)连接到原始网络。
因此，第10个网络的边缘可以直接连接到原始网络的相应并行边缘，而不是连接到第11个网络。这样，形状不必平放在平面上，但是数学家认为形状仍然“记得”以前的平面几何。因此，如果路径在这些形状中是直的，这意味着整个路径是直的。
在完成对应的平行边的所有可能的连接之后，最终生成所谓的平移表面。
生成的曲面是规则十二面体的高度冗余表示，每种都有十个五边形，情况会复杂得多：它们将被组合成一个有81个孔的环形。然而，这种复杂的形状允许三位数学家使用丰富的平移曲面理论。
为了解决这个巨大的问题，数学家们卷起袖子。经过几个月的工作，他们意识到81孔的圆环形状不仅构成了规则十二面体的冗余表示，而且也代表了研究最多的平移曲面之一。这是一种叫做“双五边形”的形状，由两个五边形共用同一条边组成。如果平行的边连接在一起，就可以构造出一个非常对称的双孔圆环结构。
阿特雷亚的右臂上纹有他最喜欢的人物——双五边形。
这个形状恰好是阿特雷亚手臂上的纹身。阿特瑞亚说：“双五边形是目前我最喜欢的东西。”在他和奥利奇诺开始研究正十二面体的前一年，他就有了这个纹身。
由于双五边形和正十二面体之间的几何关系，前者的高度对称性可以用来阐明后者的结构。亚力克斯埃斯金是芝加哥大学的数学家(15年前他还是阿特雷亚的博士生导师)，他说：“这是一个惊人的隐藏对称性。”我认为十二面体有这样一个隐藏的对称集，这是非常特殊的。”
这些平面之间的关系使得研究人员能够使用一种算法来分析德国卡尔斯鲁厄理工学院的研究员米里扬芬斯特开发的高度对称的平移曲面。通过调整芬斯特的算法，研究人员可以识别十二面体上所有从拐角到自身的直线路径，并根据十二面体的隐藏对称性对这些路径进行分类。
阿特雷亚说：“这是我职业生涯中做过的最有趣的工作。”“继续探索是非常重要的。”
埃斯金说：“新的研究结果告诉我们，即使是已经研究了几千年的东西也可能仍然有秘密。”“我认为，即使对这三位数学家来说，在十二面体上发现新的东西也是极其令人惊讶的。”
